Клас Ейлера

У математиці, зокрема алгебричній топології, диференціальній геометрії і диференціальній топології, клас Ейлера є прикладом характеристичного класу для орієнтовних дійсних векторних розшарувань. Названий на честь Леонарда Ейлера оскільки у випадку дотичного розшарування многовиду він визначає його характеристику Ейлера.

Клас Ейлера можна задати у кілька еквівалентних способів: як обструкцію до існування перетинів, що не рівні нулю всюди, як обернене відображення орієнтаційної форми при перетині або із використанням пфаффіана і гомоморфізму Чженя — Вейля. Для плоских розшарувань існують і інші еквівалентні означення.

Основна ідея і мотивація

Клас Ейлера є характеристичним класом, зокрема топологічним інваріантом на орієнтовних векторних розшаруваннях: два ізоморфні орієнтовні векторні розшарування мають однакові класи Ейлера. У випадку диференційовних многовидів клас Ейлера дотичних розшарувань визначає характеристику Ейлера многовида.

Клас Ейлера є обструкцією для існування перетинів, що ніде не є рівними нулю. Зокрема характеристика Ейлера замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида характеристика Ейлера є обструкцією для існування векторних полів без сингулярних точок.

Для підмножини базового простору векторного розшарування і перетину, що ніде не є рівним нулю можна ввести відносний клас Ейлера. Він задає обструкцію до продовження перетину без нулів на весь базовий простір.

Означення

Аксіоматичне означення

Клас Ейлера повністю визначається аксіомами.

Для кожного орієнтовного, $n$-вимірного дійсного векторного розшарування $E\to X$ існує єдиним чином визначений елемент когомологічної групи

$e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$

так, що при цьому виконуються умови:

• для кожного неперервного відображення $f\colon X^{\prime }\to X$ і обернених відображень векторних розшарувань, перетинів і когомологічних класів:

$e(f^{*}E)=f^{*}(e(E))$

• $e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2})$
• для тавтологічного комплексного лінійного розшарування $\gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$, яке розглядається як 2-вимірне дійсне векторне розшарування, елемент $e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )$ є генератором групи $H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z}$.

Когомологічний клас (елемент групи когомологій) $e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ називається класом Ейлера для розшарування $E$.

Означення в термінах теорії обструкцій

Для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування $E\to \vert K\vert$ над геометричною реалізацією $\vert K\vert$ симпліційного комплексу $K$ означення Ейлера можна одержати за допомогою класу обструкції

$o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))$

для продовження перетину асоційованому векторному розшаруванні на $n$-кістяк комплексу $K$.

Група коефіцієнтів

$\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \pi _{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0)\simeq H_{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )\simeq H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )$

є канонічно ізоморфною до $\mathbb {Z}$ і цей ізоморфізм відображає $o_{n}(E)$ на клас Ейлера $e(E)\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )$.

Означення за допомогою класу орієнтації

Для орієнтовного $n$-вимірного векторного розшарування $p\colon E\to M$ і $E_{0}\subset E$ — доповнення нульового перетину можна розглянути образ при $u\mid _{E}$ класу орієнтації (класу Тома).

$u\in H^{n}(E,E_{0};\mathbb {Z} )$

у $H^{n}(E;\mathbb {Z} )$. Оскільки $\mathbb {R} ^{n}$ є стягуваним простором, то $p\colon E\to M$ є гомотопною еквівалентністю і

$p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb {Z} )\to H^{*}(E;\mathbb {Z} )$

є ізоморфізмом. Клас Ейлера за означенням є

$e(E):=(p^{*})^{-1}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )$.

Еквівалентно $e(E)$ є рівним

$e(E):=s^{*}u\mid _{E}$

для довільного перетину $s\colon M\to E$ (наприклад нульового).

Якщо для розшарування $E\to M$ існує перетин, що ніде не є рівним нулю, тобто $s(M)\subset E_{0},$ то $e(E)=0$.

Означення у теорії Чженя — Вейля

Якщо розглядати векторні розшарування над диференційовним многовидом $M$ то побудову варіанта класу Ейлера можна здійснити за допомогою теорії Чженя — Вейля. У цьому випадку клас Ейлера приймає значення у гомологічних групах із дійсними коефіцієнтами, тобто $H^{*}(M;\mathbb {R} )$. Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності клас Ейлера завжди є нульовим.

Для орієнтовного векторного розшарування розмірності $n=2k$ можна розглянути асоційоване $SO(2k)$-головне розшарування (реперне розшарування) $P\to M$.

Для $SO(2k)$-головного розшарування $P\to M$ із формою зв'язності $\omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))$ клас Ейлера $e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;\mathbb {R} )$ задається за допомогою пфаффіана кососиметричного оператора:

$Pf(A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}$

для якого $Pf\in I^{n}(so(2k))$ і гомоморфізма Чженя — Вейля:

$I^{k}(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)$.

А саме для форми кривини $\Omega \in \Omega ^{2}(M)$, яка є кососиметричною за допомогою пфаффіана одержується диференціальна форма

${\frac {1}{2^{k}\pi ^{2k}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k}):={\frac {1}{(2\pi )^{2k}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )Pf(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

яка є замкнутою і задає клас у когомології де Рама, який і називається класом Ейлера. Клас Ейлера є незалежним від вибору зв'язності у цьому означенні.

Згідно із узагальненою теоремою Гауса — Бонне подібне диференціальне означення є еквівалентним попередньому топологічному, якщо розглядати компактні диференційовні многовиди і перейти до дійсних коефіцієнтів.

Клас Ейлера для SL(n,R)-головних розшарувань

При ізоморфізмах

$I^{k}(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\mathbb {R} ))$

пфаффіану відповідає когомологічний клас $e(\gamma ^{2k})$ у когомології класифікуючих просторів $BSL(2k,\mathbb {R} )$, тобто клас Ейлера універсального розшарування $\gamma ^{2k}\to BSL(2k,\mathbb {R} )$. Для кожного $SL(2k,\mathbb {R} )$-розшарування $P\to M$ можна використати класифікуюче відображення $f\colon M\to BSL(2k,\mathbb {R} )$ для визначення класу Ейлера

$e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{2k}))\in H^{2k}(M)$. Він є рівним класу Ейлера асоційованого векторного розшарування.

Клас Ейлера для сферичних розшарувань

Для довільного сферичного розшарування теж можна ввести Клас Ейлера.

У випадку одиничного сферичного розшарування ріманового векторного розшарування при цьому одержується введений вище клас Ейлера для векторного розшарування.

Властивості

• Канонічний гомоморфізм $H^{n}(X;\mathbb {Z} )\to H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ відображає клас Ейлера у n-ий клас Штіфеля-Вітні $w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ ab.
• Кап добуток $e(E)\cup e(E)$ є рівний найвищому класу Понтрягіна $p_{n}\in H^{2n}(X;\mathbb {Z} )$.
• Для замкнутого, орієнтовного, диференційовного многовида $M$ із дотичним розшаруванням $TM$ і фундаментальним класом $\left[M\right]$ характеристика Ейлера є рівною $\langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)$.
• Якщо ${\overline {E}}$ є векторним розшаруванням рівним $E$ але із протилежною орієнтацією, то $e({\overline {E}})=-e(E)$.
• Зокрема для векторних розшарувань непарної розмірності $2e(E)=0$. Для замкнутих, орієнтовних, диференційовних многовидів непарної розмірності характеристика Ейлера є рівною 0.
• Для суми Вітні векторних розшарувань:

  $e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2})$ де $\cup$ позначає кап добуток.

• Для довільного перетину $s\colon M\to E$ для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування над $m$-вимірним замкнутим орієнтовним многовидом $M$ фундаментальний клас $\left[Z\right]$ множини нулів $Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}$ у $H_{m-n}(M;\mathbb {Z} )$ є двоїстим за Пуанкаре до $e(E)\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )$. У випадку дотичного розшарування $E=TM$ звідси випливає теорема Пуанкаре — Гопфа.
• Якщо $N_{Y}$ є нормальним розшаруванням замкнутого орієнтовного підмноговиду $Y\subset M$ тоді $<e(N_{Y}),\left[Y\right]>$ числу самоперетинів $Y$.
• Послідовність Гизіна: Для $n$-вимірного орієнтовного векторного розшарування $E\to B$ (із множиною $E_{0}\subset E$ ненульових векторів) кап добуток і клас Ейлера задають точну послідовність
  $\ldots \to H^{i}(B;\mathbb {Z} )\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_{0})\to H^{i+1}(B)\to \ldots$.

Див. також

• Клас Понтрягіна
• Клас Чженя
• Пфаффіан
• Характеристика Ейлера
• Характеристичний клас

Література

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
• Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
• Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)